Permutasi & Kombinasi

Sebelum memulainya perlu juga untuk memahami mengenai faktorial, hmmm..gw kurang memahami definisi nya tapi gw berhasil membuat fungsi untuk faktorial ini dengan PHP yang nantinya dapat digunakan untuk mencari permutasi dan kombinasi

function faktorial( $n ){

if ($n == 0 || $n== 1){ // $n == 0 or $n == 1 is the exit condition

return 1;

}
else{ // the next line contains our recursive call

return ( $n * faktorial ($n-1));

}

}

Fungsi faktorial diatas menggunakan teknik rekursif maksudnya kurang lebih adalah memanggil dirinya sendiri.

Permutasi

Permutasi adalah penggabungan beberapa objek dengan memperhatikan urutan, ilustrasinya adalah sebagai berikut :
Seorang anak disuruh mengambil dua bola dari 3 bola yang ada(Merah(M),Biru(B),dan Hijau(H) ), maka kemungkinan bola2 yang diambil oleh anak tersebut antara lain : M-B,M-H,B-H,H-B,H-M,B-M.
Disini terlihat bahwa M-B dan B-M adalah sama, ini yang nantinya yang membedakan dengan kombinasi.Permutasi dibagi menjadi dua type, yaitu :

Permutasi perulangan :

Permutasi ini memungkinkan satu objek memenuhi semua alternatif pemilihan, sebagai contoh terdapat 3 huruf A,B, dan C selanjutnya dipersilahkan untuk memilih 2 huruf, maka diperbolehkan untuk memilih AA, BB, maupun CC …Nahhh ini maksudnya !!!!
Formulanya adalah seperti ini : dimana n adalah objek yang tersedia dan r merupakan banyaknya yang harus dipilih, maka untuk fungsi tersebut jika diimplementasikan dalam program php menjadi :

function permutasi_perulangan($n,$r){

return pow($n,$r);

}

Permutasi tanpa pengulangan

Jika permutasi dengan pengulangan diizinkan pola seperti M-B dan B-M (lihat contoh diatas) maka pada permutasi tanpa pengulangan ini hal tersebut tidak diizinkan. Contoh kasus pada permutasi tanpa pengulangan adalah sebagai berikut :
Terdapat 5 orang kandidat untuk menduduki 3 jabatan OSIS di suatu sekolah, katakanlah orang2 tersebut bernama si A,B,C,D, dan si E maka tidaklah mungkin jika si A(A-A-A) menduduki ketiga jabatan tersebut, seharusnya komposisinya adalah A-B-C, B-C-A, dan sebagainya
Formula permutasi tanpa perulangan adalah : Dimana n adalah total kandidat yang akan dicalonkan dan r adalah banyaknya posisi yang diperebutkan.
Formula tersebut jika diimplementasikan dalam bahasa pemrograman PHP akan menjadi :

faktorial($n) / faktorial($n-$r)

Dimana fungsi faktorial seperti dijabarkan di atas.

Kombinasi

Menurut wikipedia kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan, simple nya begini jika ada 5 orang pemain bulu tangkis(A,B,C,D,dan E) ingin dipasangkan untuk nomor ganda maka tim yang mungkin terbentuk adalah A-E,A-B dan sebagainya….urutan E-A dan B-A tidak dihitung pada kombinasi karena sesungguhnya elemennya yah itu-itu juga, ini mungkin dasar perbedaan antara permutasi dan kombinasi.

Kombinasi pengulangan

Pada kombinasi ini dimungkinkan satu elemen mengisi seluruh bagian kombinasi, contoh A-A, B-B, dan sebagainya…
Formula untuk kombinasi pengulangan adalah : Jika diimplementasikan dalam pemrograman PHP kurang lebih akan menjadi :

faktorial($n+$r-1) / faktorial($r) * faktorial($n-1)

Kombinasi tanpa pengulangan

Pada kombinasi ini tidak dimungkinkan satu elemen mengisi seluruh bagian kombinas, jadi tidak ada A-A,B-B dan sebagainya….
Formula untuk kombinasi tanpa pengulangan adalah : Jika diimplementasikan dalam pemrograman PHP kurang lebih akan menjadi :

faktorial($n) / faktorial($r) * faktorial($n-$r)